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« Comment ? Je vous fais 8 % de réduction sur le prix de cette voiture de 5 999 € (HTVA) et vous hésitez encore ? Bon, je fais un dernier geste : je vous fais les 8 % sur le prix TVA comprise. »
« Il y a deux mois, j’ai changé de statut et j’ai eu une augmentation du revenu mensuel de 5 %. Mais la boite est en difficulté, rationalisation, réduction salariale : 5 %. Moi j’me plains pas, je n’ai rien perdu. »

Qu’est-ce que c’est 8 % ? Huit pourcents, huit pour cent, huit centièmes, 8/100. Un pourcentage, c’est une fraction. Les fractions de dénominateurs 10, 100, 1 000 jouent un rôle particulier parce qu’elles sont en lien avec les nombres décimaux, l’écriture décimale, le système décimal.

Pourquoi les fractions ? Pour couper en parts égales ! Pour multiplier, partager, prélever ! Pour exprimer des rapports ! Comme unité de commune mesure ! Pour mesurer et exprimer des rapports de mesures ! Comme rapport interne ou externe de tableaux de proportionnalité ! Pour calculer avec des fractions ! [1]

La fraction sous quelle forme ? La fraction d’un tout comme unité ! La fraction opérateur ! La fraction rapport ! La fraction mesure ! La fraction division ! La fraction comme couple d’entiers !

Cela veut dire quoi une réduction de 8 % sur 5999 € ? Un centième de 5 999, c’est 59,99. Huit centièmes, c’est 479,92. Hors réduction, le prix est donc de 5 999-479,92=5 519,08. Pour la TVA, l’augmentation de 21 %, c’est vingt-et-une fois un pourcent de 5 519,08 ou encore 21×55,1908, ce qui est à peu près égal à 1 159,01 €. Le prix total de la voiture est donc de 5 519,08+1 159,01, soit à peu près 6 678,09 €.

Cela sert à quoi les pourcentages ? Cela permet de comparer une remise de 300 € sur 6 000 € avec une remise de 20 € sur 300 €, par exemple. Cela donne une vision (peut-être) plus claire d’un rapport. Peut-on se passer des pourcentages ? On ne peut se passer de leur compréhension mais bien de leur usage. Pour calculer le salaire après 5 % d’augmentation, on y ajoute cinq centièmes de sa valeur. Pour un salaire de départ S, on a donc un salaire après augmentation de S+S×0,05, c’est-à-dire S×(1+0,05) ou S×1,05. Si ce salaire est ensuite réduit de 5 %, on a S×1,05×0,95=S×0,9975.

On voit donc que celui qui a été augmenté de 5 %, puis diminué de 5 %, a perdu, dans l’affaire, un quart de pourcent. Quant à celui qui a obtenu la réduction sur le prix TVA comprise [2], il n’a rien gagné, rien perdu. En effet : P×0,92×1,21=P×1,21×0,92.

L’aire... De rien [3]

Sur un mur, on a affiché plusieurs photocopies d’une même photo de journal. Au-dessus de chacune d’elle, on peut lire un pourcentage, celui qu’a affiché la photocopieuse lorsqu’on a fait la copie.

Question ouverte. Quel bel outil que la photocopieuse ! Encore faut-il savoir s’en servir. C’est surtout du côté des agrandissements et des réductions que cela coince. Observez les différentes copies. Interprétez.

Fermeture de la question.

a) À quoi correspondent les nombres au-dessus des copies ?

b) Comment faut-il procéder pour doubler un motif (faire éventuellement des essais pour confirmer). Que se passe-t-il après deux agrandissements successifs à 141 % ? Et après trois ? Et après quatre ? Quel lien y a-t-il entre la copie à 100 % (isométrique à l’original) et la copie à 200 % ? Quel est le rapport d’aires entre l’original et la copie à 141 % ? D’où vient l’intérêt des photocopies à 141 % ? Comment faut-il faire pour réduire un motif de moitié ?

c) Qu’observe-t-on pour un agrandissement de 122 % ? Que s’est-il passé au niveau des longueurs et au niveau des aires ? Comment réduire pour revenir à l’original ?

Extension. Il y a vingt ans, on écrivait sur des feuilles de format quarto un peu plus petites, un peu plus larges. Pourquoi le format A4 a-t-il supplanté le format quarto ? Quelles sont les caractéristiques de formats A1, A2... A5 ? Que peut-on en déduire du coefficient de forme ?

Grapiques [4]

Aux élections syldaves de 2000, 153 737 électeurs ont voté pour le PFL (Parti des Femmes Libérées), 137 382 ont voté PM (Parti des Machos) et 35 981 ont voté FTGL (Front des Transexuels, Gay et Lesbiennes). Comme tels, ces nombres ne disent peut-être pas grand-chose.

La fraction 153 737/327 100 peut s’exprimer en pourcents. Soit par règle de trois. On calcule ce que vaut un centième de la population totale : 3 271. On cherche ensuite combien de fois va 3 271 dans 153 737... c’est 47. Soit par division du numérateur par le dénominateur, suivie d’une multiplication par 100. En Syldavie, 47 % des électeurs sont favorables au PFL, 42 % sont favorables au PM et 11 % sont favorables au FTGL. Cela parle probablement à un plus grand nombre.

Figure 1 : résultats de 2006

On peut, par ailleurs, illustrer le propos par un graphique circulaire (figure 1). Il faut partager le disque et ses 360 ° en 100 parties égales : 3,6 ° par pourcent. On détermine ensuite la grandeur de chaque quartier représentant un parti.

Figure 2 : comparaison des résultats de 2000 et 2006

En 2006, les résultats sont les suivants : 45 % pour le PFL, 48 % pour le PM et 7 % pour le FTGL. Pour comparer le résultat des élections entre 2000 et 2006, un graphique en bâtonnets fait l’affaire (figure 2). Les contextes numérique (pourcentages) et géométrique (graphiques) se nourrissent l’un l’autre. Par ailleurs, ces types de graphique ont un intérêt comme véhicule d’information et d’illustration couramment utilisés.

Morale de l’histoire

Qui est sûr à 100 % que les pourcentages sont des objets inutiles pour la vie d’un contemporain cohabitant du même sol que lui ? Qui pense, ne fût-ce qu’à 50 %, qu’il s’agit d’un concept extrêmement simple et clair pour plus de 75 % de la population ? Qui voit un lieu plus favorable à son développement que le cours de mathématique quel que soit le type d’enseignement (y compris dans l’enseignement professionnel) ?

Les pourcentages font partie d’une famille de problèmes et d’outils liés à la comparaison, aux rapports et aux mesures de grandeurs (longueurs, aires, capacités...) ; liés aux nombres, aux fractions et aux décimaux ; lié à la linéarité et à certains types de graphiques.

Les pourcentages donnent l’occasion de faire des mathématiques pour la vie de tous les jours (achats, vente...), des mathématiques pour les autres cours (cuisine, secrétariat, menuiserie...), des mathématiques citoyennes (presse, statistiques...).

Il n’y a pas que les pourcentages dans les cours de mathématiques du professionnel et d’ailleurs. Et ce que nous avons écrit à propos des pourcentages dans ce petit article est loin d’être un tour exhaustif de la question. Néanmoins, il nous semble qu’il laisse percevoir quel rôle peut jouer un cours général comme les mathématiques, pour tous les élèves de notre petite région.

notes:

[1Le lecteur intéressé à toutes ces facettes des fractions et à leurs usages pourra consulter :

• CREM, Des grandeurs aux espaces vectoriels, 2002, téléchargeable sur le site http://www.enseignement.be/@librairie/documents/ressources/072a/index.asp.

• N. ROUCHE, Pourquoi ont-ils inventé les fractions ?, Ellipses, Paris, 1998

• N. ROUCHE, Le sens de la mesure, Didier Hatier, Bruxelles, 1992

[2Ce qui est interdit en Belgique.

[3Pour cette partie, on ne vous communique aucune solution, mais vous pouvez envoyer les vôtres à l’adresse bjadin@fulladsl.be.

[4C’est clair, ce n’est pas le bon terme. Mais c’est joli. Et une histoire de « private joke » entre quelques camarades et moi.